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      初一下冊(cè)幾何證明

      時(shí)間:2017-10-28 12:16:21 優(yōu)秀作文 我要投稿

      初一下冊(cè)幾何證明

      初一下冊(cè)幾何證明

      1.已知在三角形ABC中,BE,CF分別是角平分線,D是EF中點(diǎn),若D到三角形三邊BC,AB,AC的距離分別為x,y,z,求證:x=y+z

      初一下冊(cè)幾何證明

      證明;過(guò)E點(diǎn)分別作AB,BC上的高交AB,BC于M,N點(diǎn).

      過(guò)F點(diǎn)分別作AC,BC上的高交于P,Q點(diǎn).

      根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的2邊距離相等可以知道FQ=FP,EM=EN.

      過(guò)D點(diǎn)做BC上的高交BC于O點(diǎn).

      過(guò)D點(diǎn)作AB上的高交AB于H點(diǎn),過(guò)D點(diǎn)作AB上的高交AC于J點(diǎn).

      則X=DO,Y=HY,Z=DJ.

      因?yàn)镈 是中點(diǎn),角ANE=角AHD=90度.所以HD平行ME,ME=2HD

      同理可證FP=2DJ。

      又因?yàn)镕Q=FP,EM=EN.

      FQ=2DJ,EN=2HD。

      又因?yàn)榻荈QC,DOC,ENC都是90度,所以四邊形FQNE是直角梯形,而D是中點(diǎn),所以2DO=FQ+EN

      又因?yàn)?/p>

      FQ=2DJ,EN=2HD。所以DO=HD+JD。

      因?yàn)閄=DO,Y=HY,Z=DJ.所以x=y+z。

      2.在正五邊形ABCDE中,M、N分別是DE、EA上的'點(diǎn),BM與CN相交于點(diǎn)O,若∠BON=108°,請(qǐng)問(wèn)結(jié)論BM=CN是否成立?若成立,請(qǐng)給予證明;若不成立,請(qǐng)說(shuō)明理由。

      當(dāng)∠BON=108°時(shí)。BM=CN還成立

      證明;如圖5連結(jié)BD、CE.

      在△BCI)和△CDE中

      ∵BC=CD, ∠BCD=∠CDE=108°,CD=DE

      ∴ΔBCD≌ ΔCDE

      ∴BD=CE , ∠BDC=∠CED, ∠DBC=∠CEN

      ∵∠CDE=∠DEC=108°, ∴∠BDM=∠CEN

      ∵∠OBC+∠ECD=108°, ∠OCB+∠OCD=108°

      ∴∠MBC=∠NCD

      又∵∠DBC=∠ECD=36°, ∴∠DBM=∠ECN

      ∴ΔBDM≌ ΔCNE ∴BM=CN

      3.三角形ABC中,AB=AC,角A=58°,AB的垂直平分線交AC與N,則角NBC=( )

      因?yàn)锳B=AC,∠A=58°,所以∠B=61°,∠C=61°。

      因?yàn)锳B的垂直平分線交AC于N,設(shè)交AB于點(diǎn)D,一個(gè)角相等,兩個(gè)邊相等。所以,Rt△ADN全等于Rt△BDN

      所以 ∠NBD=58°,所以∠NBC=61°-58°=3°

      4.在正方形ABCD中,P,Q分別為BC,CD邊上的點(diǎn)。且角PAQ=45°,求證:PQ=PB+DQ

      延長(zhǎng)CB到M,使BM=DQ,連接MA

      ∵M(jìn)B=DQ AB=AD ∠ABM=∠D=RT∠

      ∴三角形AMB≌三角形AQD

      ∴AM=AQ ∠MAB=∠DAQ

      ∴∠MAP=∠MAB+∠PAB=45度=∠PAQ

      ∵∠MAP=∠PAQ

      AM=AQ AP為公共邊

      ∴三角形AMP≌三角形AQP

      ∴MP=PQ

      ∴MB+PB=PQ

      ∴PQ=PB+DQ

      5.正方形ABCD中,點(diǎn)M,N分別在AB,BC上,且BM=BN,BP⊥MC于點(diǎn)P,求證DP⊥NP

      ∵直角△BMP∽△CBP

      ∴PB/PC=MB/BC

      ∵M(jìn)B=BN

      正方形BC=DC

      ∴PB/PC=BN/CD

      ∵∠PBC=∠PCD

      ∴△PBN∽△PCD

      ∴∠BPN=∠CPD

      ∵BP⊥MC

      ∴∠BPN+∠NPC=90°

      ∴∠CPD+∠NPC=90°

      ∴DP⊥NP

      2

      1.已知在三角形ABC中,BE,CF分別是角平分線,D是EF中點(diǎn),若D到三角形三邊BC,AB,AC的距離分別為x,y,z,求證:x=y+z

      證明;過(guò)E點(diǎn)分別作AB,BC上的高交AB,BC于M,N點(diǎn).

      過(guò)F點(diǎn)分別作AC,BC上的高交于P,Q點(diǎn).

      根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的2邊距離相等可以知道FQ=FP,EM=EN.

      過(guò)D點(diǎn)做BC上的高交BC于O點(diǎn).

      過(guò)D點(diǎn)作AB上的高交AB于H點(diǎn),過(guò)D點(diǎn)作AB上的高交AC于J點(diǎn).

      則X=DO,Y=HY,Z=DJ.

      因?yàn)镈 是中點(diǎn),角ANE=角AHD=90度.所以HD平行ME,ME=2HD

      同理可證FP=2DJ。

      又因?yàn)镕Q=FP,EM=EN.

      FQ=2DJ,EN=2HD。

      又因?yàn)榻荈QC,DOC,ENC都是90度,所以四邊形FQNE是直角梯形,而D是中點(diǎn),所以2DO=FQ+EN

      又因?yàn)?/p>

      FQ=2DJ,EN=2HD。所以DO=HD+JD。

      因?yàn)閄=DO,Y=HY,Z=DJ.所以x=y+z。

      2.在正五邊形ABCDE中,M、N分別是DE、EA上的點(diǎn),BM與CN相交于點(diǎn)O,若∠BON=108°,請(qǐng)問(wèn)結(jié)論BM=CN是否成立?若成立,請(qǐng)給予證明;若不成立,請(qǐng)說(shuō)明理由。

      當(dāng)∠BON=108°時(shí)。BM=CN還成立

      證明;如圖5連結(jié)BD、CE.

      在△BCI)和△CDE中

      ∵BC=CD, ∠BCD=∠CDE=108°,CD=DE

      ∴ΔBCD≌ ΔCDE

      ∴BD=CE , ∠BDC=∠CED, ∠DBC=∠CEN

      ∵∠CDE=∠DEC=108°, ∴∠BDM=∠CEN

      ∵∠OBC+∠ECD=108°, ∠OCB+∠OCD=108°

      ∴∠MBC=∠NCD

      又∵∠DBC=∠ECD=36°, ∴∠DBM=∠ECN

      ∴ΔBDM≌ ΔCNE ∴BM=CN

      3.三角形ABC中,AB=AC,角A=58°,AB的垂直平分線交AC與N,則角NBC=( )

      因?yàn)锳B=AC,∠A=58°,所以∠B=61°,∠C=61°。

      因?yàn)锳B的垂直平分線交AC于N,設(shè)交AB于點(diǎn)D,一個(gè)角相等,兩個(gè)邊相等。所以,Rt△ADN全等于Rt△BDN

      所以 ∠NBD=58°,所以∠NBC=61°-58°=3°

      4.在正方形ABCD中,P,Q分別為BC,CD邊上的點(diǎn)。且角PAQ=45°,求證:PQ=PB+DQ

      延長(zhǎng)CB到M,使BM=DQ,連接MA

      ∵M(jìn)B=DQ AB=AD ∠ABM=∠D=RT∠

      ∴三角形AMB≌三角形AQD

      ∴AM=AQ ∠MAB=∠DAQ

      ∴∠MAP=∠MAB+∠PAB=45度=∠PAQ

      ∵∠MAP=∠PAQ

      AM=AQ AP為公共邊

      ∴三角形AMP≌三角形AQP

      ∴MP=PQ

      ∴MB+PB=PQ

      ∴PQ=PB+DQ

      5.正方形ABCD中,點(diǎn)M,N分別在AB,BC上,且BM=BN,BP⊥MC于點(diǎn)P,求證DP⊥NP

      ∵直角△BMP∽△CBP

      ∴PB/PC=MB/BC

      ∵M(jìn)B=BN

      正方形BC=DC

      ∴PB/PC=BN/CD

      ∵∠PBC=∠PCD

      ∴△PBN∽△PCD

      ∴∠BPN=∠CPD

      ∵BP⊥MC

      ∴∠BPN+∠NPC=90°

      ∴∠CPD+∠NPC=90°

      ∴DP⊥NP

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